Bei Vorlage eines Wortes \(w\) würde eine Turingmaschine zwar anhalten und akzeptieren, wenn \(w\) in der Sprache ist. Wir werden uns mit diesen Problemen im Abschnitt über Unentscheidbarkeit noch genauer befassen.Ein zweites Problem betrifft die Zeit, die benötigt wird, um ein Problem zu lösen. Es existieren aber Testverfahren, die für bestimmte Teilklassen der kontextfreien Grammatiken Mehrdeutigkeit bzw. Eine Erweiterung der kontextfreien Grammatiken bilden Diese Auftrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Regeln induzieren eine Eine stochastisch kontextfreie Grammatik kann beispielsweise dazu verwendet werden, für ein Eingabewort den wahrscheinlichsten Parse in einer syntaktisch mehrdeutigen Grammatik zu berechnen. Schnittproblem f ur kontextfreie Grammatiken Barbara K onig Berechenbarkeit und Komplexit at 185 Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexit atstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Adventure-Problem (Level 4) Adventures bestehen aus Graphen bzw. Ein Algorithmus kann bei Vorlage einer Eingabe stets entscheiden, ob diese zu der Sprache gehört oder nicht, was aufgrund der Analogie zwischen Sprachen entscheiden und Funktionen berechnen damit gleichzusetzen ist, Lösungen zu berechnen. Daraus wird dann auch als Zusammenhang zwischen allen bisher betrachteten Sprachfamilien $$ \text{REG} \subset \text{CF} \subset \text{REC} \subseteq \text{RE} $$ folgen.Als Notation werden nachfolgend in den Sprachbeschreibungen eckige Klammern benutzt, um eine Kodierung zu notieren. die Sprache \(\{a^n b^n \mid n \in \mathbb{N}\}\). Diese syntaktische Überprüfung geht stets problemlos, auch wenn die tatsächliche Implementierung in einer TM recht umständlich wird.Bei der Simulation von \(A\) merkt \(M\) sich dann die aktuelle Position in \(w\) und den aktuellen Zustand von \(A\), also im Grunde die Konfiguration von \(A\).Dann wird immer für jedes Tupel aus Zustand \(z\) (in dem \(A\) sich gerade befindet) und Symbol \(a\) (das \(A\) gerade lesen soll) der Zustand entsprechend \(\delta(z,a)\) gewechselt und die Position im Wort um eins erhöht (d.h. die Nachfolgekonfiguration wird bestimmt).Liest \(A\) das Wort zu Ende und ist dann in einem Endzustand, so akzeptiert \(M\), sonst ([/latex]A[/latex] blockiert oder ist nicht in einem Endzustand) lehnt \(M\) ab.So konstruiert, hält die TM \(M\) auf jeder Eingabe, denn wenn die Eingabe syntaktischer Unsinn ist, merkt sie dies sofort, ansonsten wird \(A\) auf \(w\) simuliert, was wegen der Eigenschaften des DFAs auch stets nach endlichen vielen Schritten zu einem Ergebnis führt (entweder hat \(A\) das Wort \(w\) zu Ende gelesen und ist in einem Endzustand oder \(A\) hat das Wort \(w\) zu Ende gelesen und ist nicht in einem Endzustand oder \(A\) hat das Wort nicht zu Ende gelesen, hat aber für das gerade zu lesende Symbol in dem aktuellen Zustand keinen Übergang). Das Wortproblem für kontextfreie Sprachen, also das Problem, ob ein Wort \({\displaystyle w}\) von einer kontextfreien Grammatik erzeugt werden kann, ist entscheidbar. Eine typische aufzählbare Sprache, ist \(TM_{acc}\) und wir werden noch sehen, dass diese nicht mehr entscheidbar ist. die Eingabe schnell auf syntaktische Korrektheit testen kann. \(B\) arbeitet wie folgt: Bei Eingabe von \(w\) wird erst ein Schritt von \(A\) simuliert, dann ein Schritt von \(\overline{A}\). Nur weil ein Problem entscheidbar ist, bedeutete dies nämlich nicht, dass die Zeit, die benötigt wird, um es tatsächlich zu lösen, akzeptabel ist. Wir werden später noch sehen, dass es aufzählbare Sprachen gibt, die nicht entscheidbar sind. So sind bspw. Eine Aussage, die man gar nicht genug betonen kann, denn sie zeigt uns unsere ganz grundsätzlichen Grenzen bei der Arbeit mit dem Computer auf. Im Anschluss wird wieder ein Schritt von \(A\) simuliert, dann wieder einer von \(\overline{A}\) und so weiter. Man kann nun wieder fragen, wie sich dies bei den aufzählbaren und entscheidbaren Sprachen verhält? Wir wollen nicht genau auf die Kodierungen eingehen, aber es sollte klar sein, dass es eine gibt.
\(M_1\) unendlich lange läuft und daher \(M_2\) nie gestartet wird, so ist dies nicht tragisch, denn wenn \(M_1\) ein Wort nicht akzeptiert, so ist dieses Wort ganz bestimmt nicht in \(L_1 \cap L_2\) und es ist also egal, dass \(M_1\) immer weiter arbeitet, ohne dass \(M_2\) jemals gestartet wird.Anders bei \(L_1 \cup L_2\) hier funktioniert diese Methode nicht, denn sollte \(M_2\) ein Wort \(w\) akzeptieren, so ist das Wort in \(L_1 \cup L_2\). Wir werden dies im nächsten Abschnitt sehen. Eine typische entscheidbare Sprache, die nicht mehr kontextfrei ist, ist \(\{a^n b^n c^n \mid n \in \mathbb{N}\}\). Wir betrachten hier nur die drei wichtigsten Operationen.Für \(L_1 \cup L_2\) verfährt man genauso, akzeptiert aber, wenn bereits eine der beiden Turingmaschinen \(M_1\) oder \(M_2\) akzeptiert. Eine davon ist, ob ein bestimmtes Wort in der Sprache enthalten ist. Da wir sehen werden, dass dies auch Probleme betrifft, die von großer praktischer Bedeutung sind, lernen wir damit eine wichtige Grenze unserer Möglichkeiten mit dem Computer kennen.Als erstes können wir so wie wir es auch bei z.B.
Eine typische kontextfreie Sprache, die nicht mehr regulär ist, ist z.B. Ein anderer Anwendungsfall ist das stochastische Samplen von Ableitungsbäumen unter den gegebenen Regelwahrscheinlichkeiten einer mehrdeutigen Grammatik. Z.B.
Automaten, die mit folgenden Symbolen markiert sind: Drache: Schwert: Fluss: … Ist ein Eingabewort \(w\) in \(L_1\) oder \(L_2\), so wird eine der beiden Maschinen letztendlich \(w\) akzeptieren.
=> pruefe die eine und dann die andere.
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